Recherche d'une tangente à deux paraboles

On considère les paraboles d'équations \(y=x^2\) et \(y=x^2+2x+2\).
On se demande s'il existe une droite qui soit tangente aux deux paraboles à la fois.

Partie A : conjecture

1. En déplaçant le point \(\text{A}\) sur la parabole d'équation \(y=x^2\), est-il possible que la droite soit aussi tangente à l'autre parabole ? Si oui, en quel point \(\text{B}\) ?
2. Pensez-vous qu'il existe d'autres positions de \(\text{A}\) solutions du problème ?

Partie B : démonstration

1. On note \(a\) l'abscisse de \(\text{A}\). On note \((d)\) la tangente à la parabole d'équation \(y=x^2\) au point \(\text{A}\).
    a. Quel est le coefficient directeur de \((d)\) ?
    b. Montrer que l'ordonnée à l'origine de \((d)\) est \(-a^2\).
2. On cherche un point \(\text{B}​\), d'abscisse \(b\), sur la parabole d'équation \(y=x^2+2x+2\), de sorte que la droite \((d)\) soit tangente à cette autre parabole en \(\text{B}\).
    a. Exprimer le coefficient directeur de \((d)\) en fonction de \(b\).
    b. En déduire que \(b=a-1\).
    c.  Exprimer l'ordonnée à l'origine de \((d)\) en fonction de \(b\).
    d. En déduire que \(a\) est solution de l'équation \(-a^2=-(a-1)^2+2\).
    e. Résoudre cette équation, puis donner les coordonnées des points \(\text{A}\) solutions du problème.
    f. En déduire les coordonnées de \(\text{B}\).